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先ほど、私は証拠を「知りたい対象と、原因と結果のつながりによって絡み合った出来事」、絡み合うを「対象が取りうる状態ごとに異なって起きること」と定義した。では、信念を裏づけるには、どれほどの絡み合い――どれほどの証拠――が必要なのか。
数学的に扱えるほど単純な問いから始めよう。宝くじに当たるには、どれほど強く宝くじと絡み合わなければならないだろうか。70個の球から、戻さずに抽選し、当選には6個の番号を一致させる必要があるとする。このとき当選する組み合わせは131,115,985通りあるので、無作為に選んだくじが当たる確率は1/131,115,985（0.0000007%）である。宝くじに当たるには、131,115,984通りの選択肢より一つの組み合わせを目に見えて優位にするほど選択的な証拠が必要になる。
当選番号と外れ番号を確率的に識別する、何らかの検査を行えるとしよう。たとえば、小さな黒い箱に組み合わせを入力でき、その組み合わせが当たりなら必ず音が鳴り、間違っていても1/4（25%）の確率だけ音が鳴るとする。ベイズ的な用語では、尤度比は4対1だと言う。つまり、間違った組み合わせを入力したときに箱が音を鳴らす確率と比べ、正しい組み合わせを入力したときに音を鳴らす確率は4倍である。
それでも、可能な組み合わせは非常に多い。20通りの間違った組み合わせを入力すれば、まったくの偶然によって、そのうち5通りで箱が音を鳴らすだろう（平均して）。可能な組み合わせ131,115,985通りをすべて入力すれば、箱は一つの当選組み合わせで必ず音を鳴らす一方、32,778,996通りの外れ組み合わせでも音を鳴らす（平均して）。
したがって、この箱があっても宝くじには当たれないが、何もないよりはましである。箱を使えば、当選の見込みは131,115,985分の1から、32,778,997分の1になる。広大な可能性の空間の中で、標的である真実を見つけることへ、いくらか前進したのだ。
もう一つの黒い箱を使い、組み合わせを二回、独立に検査できるとしよう。どちらの箱も、当たりくじなら必ず音を鳴らす。しかし外れ組み合わせで音を鳴らす確率は、それぞれの箱について1/4で、互いに独立している。したがって、両方の箱が外れ組み合わせで音を鳴らす確率は1/16である。二つの独立した検査による累積的な証拠の尤度比は、16対1だと言える。両方の検査を通過する外れくじの数は、（平均して）8,194,749枚になる。
可能なくじが131,115,985枚あるので、およそ131,115,985対1の強さを持つ証拠、すなわち外れ組み合わせより当選組み合わせについて131,115,985倍起こりやすい出来事、または一連の出来事が必要だと推測するかもしれない。実際には、この量の証拠でも、宝くじに当たる見込みを五分五分にするのがやっとである。なぜか。その強さのフィルターを1億3100万枚の外れくじに適用すれば、平均して一枚の外れくじがフィルターを通過するからだ。当たりくじもフィルターを通過する。したがって、フィルターを通ったくじは二枚残り、当たりは一枚だけになる。一枚しか買えないなら、当選確率は50%である。
この問題を見る、もっとよい方法がある。最初は、当たりくじが1枚、外れくじが131,115,984枚なので、当選のオッズは1対131,115,984である。一つの箱を使うと、当たりくじに対して音を鳴らすオッズは1、外れくじに対しては0.25である。そこで1対131,115,984に1対0.25を掛け、1対32,778,996を得る。証拠となる箱をもう一つ加えると、オッズに再び1対0.25が掛かり、今度は当たりくじ1枚に対して外れくじ8,194,749枚というオッズになる。
証拠はビットで測ると便利である。ハードディスク上のビットではなく、概念上それとは異なる数学者のビットだ。数学者のビットは、確率の1/2を底とする対数である。たとえば、可能な結果がA、B、C、Dの四つあり、それぞれの確率が50%、25%、12.5%、12.5%で、結果は「D」だったと私が教えたなら、私はあなたに3ビットの情報を伝えたことになる。確率1/8の結果を知らせたからである。
たまたま131,115,984は、2の27乗よりわずかに小さい。したがって、14個の箱、すなわち28ビットの証拠――くじについての仮説が偽のときより真のときに268,435,456対1の倍率で起こりやすい出来事――があれば、オッズは1対131,115,984から268,435,456対131,115,984へ移動し、約分すると2対1になる。2対1のオッズとは、一回負ける可能性ごとに二回勝つ可能性があるという意味なので、28ビットの証拠があるときの当選確率は2/3である。もう一つ箱、つまりさらに2ビットの証拠を加えると、オッズは8対1になる。さらにもう二つ箱を加えると、当選の見込みは128対1になる。
したがって、宝くじに当たるという強い信念――ここでは恣意的に、間違っている確率が1%未満であることと定義する――を正当化したいなら、当選組み合わせについて34ビットの証拠があれば足りる。
一般に、「どれほどの証拠が必要か」を重みづけする規則も、似たパターンに従う。仮説が置かれている可能性の空間が大きいほど、近隣の仮説と比べてアプリオリに起こりにくく見えるほど、あるいは持ちたい確信が強いほど、より多くの証拠が必要になる。
規則に逆らうことはできない。不十分な証拠に基づいて正確な信念を形成することはできない。10個の箱が一列に並び、組み合わせを箱へ次々に入力し始めるとしよう。10個すべての箱が音を鳴らした最初の組み合わせで止めて、こう言うことはできない。「でも、外れ組み合わせでこれが起きるオッズは100万対1だ！ 象牙の塔にいるベイズ主義者の規則など無視して、ここで止めよう」。このような検査では、当たり一枚につき、平均131枚の外れくじが通過する。可能性の空間と事前の起こりにくさを考えれば、あなたは不十分な証拠から、強すぎる結論へ飛びついたことになる。これは無意味な官僚的規制ではない。数学である。
もちろん、そうしたい気まぐれがあるなら、不十分な証拠に基づいて信じることはできる。しかし正確に信じることはできない。それは、車がどこかへ行くには燃料が必要だという、古くさく馬鹿げた概念を信じないからと、燃料なしで車を運転しようとするようなものだ。車には燃料が必要だという法則を廃止すると決めるだけで済むなら、そのほうがずっと楽しく、費用もずっと少なくなる。誰にとっても、そのほうが明らかによいではないか。まあ、そうしたい気まぐれがあるなら、試すことはできる。目を閉じて、車が動いているふりをすることさえできる。しかし正確な信念へ本当に到達するには、証拠という燃料が必要であり、遠くへ行きたいほど、より多くの燃料が要る。