アレのパラドックス

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次の二つの選択肢から選んでほしい。

1A. 確実に24,000ドルを得る。

1B. 33/34の確率で27,000ドルを得て、1/34の確率で何も得られない。

直観的に魅力を感じるのはどちらだろう。そして、実生活ならどちらを選ぶだろう。では次の二つでは、直観的にどちらが好ましく、実生活ならどちらを選ぶだろうか。

2A. 34%の確率で24,000ドルを得て、66%の確率で何も得られない。

2B. 33%の確率で27,000ドルを得て、67%の確率で何も得られない。

アレのパラドックス――アレ自身はそう呼んだが、実際にはパラドックスではない――は、意思決定理論と人間の推論の食い違いが実験で示された最初期の例の一つで、1953年のことである。1計算を簡単にするため少し変更したが、問題の本質は同じだ。大半の人は1Bより1Aを好み、また大半の人は2Aより2Bを好む。実際、被験者内比較を行っても、過半数の被験者がこの二つの選好を同時に示す。

これが問題なのは、2の選択肢は、約3分の1の確率で1の選択肢のくじを引くのと同じだからだ。つまり、2Aは34%の確率で1Aのくじを引くのに相当し、2Bは34%の確率で1Bのくじを引くのに相当する。

「一貫した」意思決定者は期待効用を最大化しているとみなせることを証明するための公理に、独立性公理がある。YよりXを厳密に好むなら、確率PでX、確率（1 − P）でZになる選択肢を、確率PでY、確率（1 − P）でZになる選択肢より厳密に好むべきだ、というものだ。

これらの公理はすべて、一貫した効用関数の前提であると同時に、その帰結でもある。したがって、上の実験の被験者たちが、結果について一貫した効用関数を持つことはできないと証明できるはずだ。実際、次の二つを同時に満たすことはできない。

U ($24,000) > (33/34) × U ($27,000) + (1/34) × U ($0)

0.34 × U ($24,000) + 0.66 × U ($0) < 0.33 × U ($27,000) + 0.67 × U ($0) .

この二つの式は、Uがどのような関数でも代数的に両立しない。だからアレのパラドックスは、貨幣の限界効用の逓減とは関係がない。

モーリス・アレは当初、実験で被験者が示した選好を擁護した。人間の心理の欠陥ではなく、従来の効用の考え方の欠陥が実験で明らかになった、と捉えたのだ。何しろ1953年のことであり、ヒューリスティクスとバイアスの研究が本格的に始まるのは、さらに20年後だった。アレは、自分の実験が、独立性公理は現実には明らかによい考えではないと示しただけだ、と考えた。

（ベイズ意思決定理論とは、何と素朴で、愚かで、単純すぎるのだろう……。）

24,000ドルが確実に手に入ることにも、何らかの意味があるはずではないか。違いを感じられるだろう？　あの確かな安心感を。

（私はこれを「素朴な哲学的実在論」と考えるようになってきた。どんな戦略が賢いかについて、私たちの直観が真実を直接示すと思い込むことだ。まるで「1Aは1Bより優れている」が、直接知覚された事実であるかのように。直観が直接示すのは、人間の認知機能についての真実だ。合理性についての真実を示すのは、その認知機能自体を振り返って検討したあとの、間接的な形でしかない。）

「でも待ってください」とあなたは言う。「ベイズ的な美しさから外れるのは、本当にそんなにひどいことですか？」なるほど、被験者たちは、フォン・ノイマンやモルゲンシュテルンらが唱える、こぎれいな「独立性公理」には従わなかった。だが、物事はきちんと整っていなければならないと、誰が言うのだろう。

取りたくもないリスクを取らされるなら、なぜ優美さにこだわるのか。期待効用によれば、結果に何らかの数字を割り当て、その値に結果の確率を掛け、足し合わせる、等々とすべきだという。わかった。だが、なぜそうしなければならないのか。もっと受け入れやすい規則を作ってはいけないのか。

ベイズの道を離れれば、必ず代償がある。整合性と一意性の定理とは、まさにそういうものだ。

この場合、ある主体が1Bより1Aを好み、2Aより2Bを好むなら、一種の選好の逆転が生じる。その主体の計画に動学的不整合があるのだ。あなたはマネーポンプ、お金を吸い上げられる存在になってしまう。

正午に私が100面のサイコロを振るとしよう。出た数字が34より大きければ、ゲームは終わる。それ以外なら、午後12時5分に、AとBの二つの設定があるスイッチを確認する。Aなら24,000ドルをあなたに払う。Bなら34面のサイコロを振り、「34」が出た場合は何も払わず、それ以外なら27,000ドルを払う。

あなたは1Bより1Aを、2Aより2Bを好み、それぞれの選好を満たすために1セントを払ってもよいとしよう。スイッチは最初Aになっている。正午より前に、あなたは私に1セント払い、Bに切り替えさせる。サイコロは12を出す。正午から午後12時5分までの間に、あなたは私に1セント払い、Aに切り替えさせる。

この件について、あなたの意見代として2セントをいただいたわけだ。自分の直観に身を任せ、単なる優美さなど、整ったものへの無意味な執着だと片づけるなら、こうして小銭を取られても驚いてはいけない……。

（小さな確率がもたらす感情的な影響を、その確率に比例して小さくできないという、同じ失敗が、宝くじの原因でもあると思う。）