複数の粒子をまとめた配置

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配置を理解する鍵、ひいては量子力学を理解する鍵は、配置とは複数の粒子についてのものだと、心底から腑に落ちることにある。

図1

前のエッセイに続いて、図1は実験を変更したものを示している。光源BとCから、二つの光子を同時にDへ向けて送り込む。

すると、出発点の配置はこうなる。

「BからDへ進む光子が一つ、
そしてCからDへ進む光子が一つ」。

今回も、出発点の配置の振幅を(−1 + 0i)としよう。

Dにある半透鏡の規則を思い出してほしい。直角に曲がるとiを掛け、直進すると1を掛ける。

そこで、それぞれの光子が曲がるか曲がらないか、四つの場合を別々に考えると、出発点の配置からの振幅の流れはこうなる。

1. 「BからD」の光子が曲がり、「CからD」の光子も曲がる。この振幅は、「DからEへ進む光子が一つ、そしてDからFへ進む光子が一つ」という配置に流れ込む。流れる振幅は(−1 + 0i) × i × i = (1 + 0i)だ。
2. 「BからD」の光子が曲がり、「CからD」の光子は直進する。この振幅は、「DからEへ進む光子が二つ」という配置に流れ込む。流れる振幅は(−1 + 0i) × i × 1 = (0 − i)だ。
3. 「BからD」の光子が直進し、「CからD」の光子は曲がる。この振幅は、「DからFへ進む光子が二つ」という配置に流れ込む。流れる振幅は(−1 + 0i) × 1 × i = (0 − i)だ。
4. 「BからD」の光子が直進し、「CからD」の光子も直進する。この振幅は、「DからFへ進む光子が一つ、そしてDからEへ進む光子が一つ」という配置に流れ込む。流れる振幅は(−1 + 0i) × 1 × 1 = (−1 + 0i)だ。

さて――これは量子力学の非常に重要で根本的な考え方なのだが――、場合1と場合4の振幅は、同じ配置へ流れ込む。Bの光子とCの光子が両方とも直進しても、両方とも曲がっても、結果の配置は、Eへ向かう光子が一つ、Fへ向かう別の光子が一つだ。

だから、場合1と場合4から流れ込む二つの振幅を足し合わせると、合計の振幅は(1 + 0i) + (−1 + 0i) = 0となる。

三つの最終配置に、絶対値の二乗の比を読み取る魔法の道具をかざすと、「検出器1に光子が二つ」と「検出器2に光子が二つ」の絶対値の二乗は同じだが、「検出器1に光子が一つ、検出器2に光子が一つ」の絶対値の二乗はゼロだとわかる。

はるか上の実験のレベルでは、検出器1と検出器2が両方反応することは決してない。検出器1が二度反応するか、検出器2が二度反応し、その頻度は等しい。（私の数学と物理が正しければ、の話だ。実際に実験したわけではない。）

配置を特定するものは、「Bの光子がEへ向かい、Cの光子がFへ向かう」ことではない。もしそうなら、場合1と場合4で生じる配置は等しくならない。場合1は「Bの光子がEへ、Cの光子がFへ」、場合4は「Bの光子がFへ、Cの光子がEへ」になる。配置に光子を追跡する構造があれば、この二つは区別できる配置になるはずだ。

すると二つの振幅を足して打ち消し合うことにはならない。振幅を二つの別々の配置に保つことになる。それぞれの合計振幅の絶対値の二乗は、ゼロではない。そして実験すれば、（半分くらいの頻度で）検出器1と検出器2がそれぞれ光子を一つずつ検出するはずだ。私の計算が正しければ、そんなことは起こらないのだが。

配置は、粒子がどこから来たかを追跡しない。配置を特定するのは、ただ「ここに光子が一つ、あそこに光子が一つ。ここに電子が一つ、あそこに電子が一つ」ということだ。どうやってその状況になったかにかかわらず、同じ種類の粒子が同じ場所にあれば、同じ配置として数える。

もう一度言おう。「配置の構造は、どんな種類の情報を含むのか？」という問いには、実験上の帰結がある。現実そのものが配置をどう扱っているはずかを、実験から導き出せるのだ。

古典的な宇宙では、実験上の帰結は生じない。光子が、小さなビリヤード球のように、どちらか一方の道を進むものであり、配置は系がとりうる状態についての私たちの信念であり、振幅の代わりに確率があるのなら、光子の出所を追跡するか、その情報を捨てるかは、結果を変えない。

古典的な宇宙なら、両方の光子がEへ行く確率を25%、両方がFへ行く確率を25%、Bの光子がEへ、Cの光子がFへ行く確率を25%、Bの光子がFへ、Cの光子がEへ行く確率を25%と割り当てられる。あるいは、後の二つのどちらが起きたかは私個人としてはどうでもよいので、二つの可能性を一つにまとめ、確率を足して、単に「各検出器に光子が一つずつ届く確率は50%」と言うこともできる。

確率なら、事象を好きなようにまとめても――可能世界の集合の周りに好きなように境界線を引いても――、数値はやはり同じようにつじつまが合う。互いに排他的な二つの事象のいずれかが起きる確率は、常に、第一の事象の確率と第二の事象の確率の和に等しい。

だが、モデルの中で配置を勝手に一つにまとめたり、分割したりして、同じ実験予測を得ることはできない。私たちの魔法の道具が教えるのは、絶対値の二乗の比だ。複素数を二つ足したとき、その和の絶対値の二乗は、各部分の絶対値の二乗の和とは等しくない。

たとえば、

あるいは、今ここで論じている実験では、(1 + 0i)と(−1 + 0i)という流れが打ち消し合い、和は0になった。その絶対値の二乗は0だが、各部分の絶対値の二乗は1と1だったはずだ。

もし魔法の道具がSquared_Modulusではなく、何らかの線形関数――F(X + Y) = F(X) + F(Y)となる任意の関数――だったなら、量子的な性質はすべて瞬時に消え、古典物理学に取って代わられるだろう。（私たち自身の量子世界の、高度に組織化されたレベルの内側から幻視する古典性と同じではなく、別の古典物理学である。）

振幅が単なる確率なら、流れがぶつかったときに打ち消し合うことはできない。配置が単なる知識の状態なら、好きなように組み替えられるだろう。

しかし配置は、その場に釘づけになっている。物理法則を変えずには、分割も統合もできない。

そして、配置が複数の粒子をどう扱うかも、その釘づけになっているものの一部だ。配置が言うのは「ここに光子、あそこに光子」であり、「ここにこの光子、あそこにあの光子」ではない。「ここにこの光子、あそこにあの光子」は、「ここにあの光子、あそこにこの光子」と別の配置ではない。

その結果、今日の実験で見えるように、私たちの宇宙の物理を、それぞれ固有の同一性を持つ粒子の物理へと分解することはできない。

人間が、まったく普通の量子物理学をなかなか理解できない理由の一つは、奇妙なことに、現実を、個々に実在するビリヤード球の総和へと分解しようとし続けることにある。

ははは！　人間はおかしなものだ。