配置と振幅

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では、宇宙は小さなビリヤード球からできているわけでも、エーテルの池に浮かぶ波の山と谷からできているわけでもない……それなら、ものを作っているものとは何なのか。

図1

図1では、Aに半透鏡があり、光子検出器である検出器1と検出器2がある。

初期の科学者たちは、このような実験を行ったとき、結果が何を意味するのか混乱した。半透鏡へ光子を送り、半分の回数では検出器1が作動し、残り半分では検出器2が作動するのを目にした。

初期の科学者たちは――笑ってしまうだろうが――銀めっきされた鏡が、半分の回数では光子をそらし、半分の回数では通過させると考えた。

はっ、はっ！　まるで半透鏡が機会ごとに違うことをするかのようだ！　この考えは手放してほしい。初期の科学者が考えたことにしがみつけば、ひどく混乱することになる。半透鏡は毎回、同じ規則に従う。

この実験そのものであるコンピュータ・プログラム――実験結果を予測するプログラムではなく、根底にある現実に似たプログラム――を書くとしたら、おおよそ次のようになるかもしれない。

プログラムの開始時（実験の開始時、時間の開始時）には、配置と呼ばれる、ある数学的実体がある。この配置は、「光子源から半透鏡へ向かう一個の光子がある」、あるいは単に「Aへ向かう光子」に対応すると考えられる。

配置は、一つの複素値――複素数（a + bi）の「複素」であり、iは−1と定義される――を格納できる。プログラムの開始時には、「Aへ向かう光子」という配置に、すでに複素数が格納されている。ゼロでない限り、正確な値は問題にならない。「Aへ向かう光子」という配置の値を（−1 + 0i）としよう。

これはすべて領域内の事実であって、誰かの知識の記述ではない。配置は命題でも、世界がありうる一つの姿でもない。配置はプログラム内の変数である――「Aへ向かう光子」をインデックスとする一種のメモリ位置だと考えられる――そして領域のなかに実在する。

配置に割り当てられる複素数は0と1の間の正の実数ではないので、確率と混同する危険はない。「Aへ向かう光子」の複素値は−1であり、これを信念の度合いと見るのは難しい。複素数はプログラム内の値であり、やはり領域のなかにある。これらの複素数を振幅と呼ぶことにしよう。

ほかに二つの配置があり、「Aから検出器1へ進む光子」と「Aから検出器2へ進む光子」と呼ぶことにする。これらの配置はまだ複素値を持たず、プログラムが動くにつれて値が割り当てられる。

「Aから1へ向かう光子」と「Aから2へ向かう光子」の振幅を、「Aへ向かう光子」の値と、Aにある半透鏡を記述する規則を使って計算する。

大まかに言えば、半透鏡の規則は、「光子が直進するときは1を掛け、直角に曲がるときはiを掛ける」である。これは、「入射する光子」という配置の振幅を、「直進して出ていく光子」または「偏向される光子」という配置へ向かう振幅に関連づける普遍的な規則である。1

そこで、「Aへ向かう光子」という配置の振幅（−1 + 0i）をAの半透鏡に入力する。すると、「Aから1へ向かう光子」へ（−1 + 0i）× i =（0 − i）の振幅が伝わり、同時に「Aから2へ向かう光子」へ（−1 + 0i）× 1 =（−1 + 0i）の振幅が伝わる。

図1の実験では、考慮すべき配置と伝達される振幅はこれですべてなので、計算は終わりである。あるいは、「検出器1が光子を受け取る」と「検出器2が光子を受け取る」を別々の配置と考えたいなら、それぞれ「Aから1」と「Aから2」から値をそのまま引き継ぐ。（実際には、引き継ぐ値に、Aから検出器までの距離に対応する別の複素因子を掛けるべきである。しかし今はそれを無視し、実験内で進む距離はすべて、たまたま複素因子1に対応すると仮定する。）

したがって、プログラムの最終状態は次のようになる。

配置「Aへ向かう光子」：（−1 + 0i）

配置「Aから1へ向かう光子」：（0 − i）

配置「Aから2へ向かう光子」：（−1 + 0i）

そして任意で

配置「検出器1が光子を受け取る」：（0 − i）

配置「検出器2が光子を受け取る」：（−1 + 0i）。

プログラムを実行するたび（実験を行うたび）、同じ配置に同じ振幅が格納されるという、まったく同じ結果が生じる。

さて、ここでは立ち入らない複雑な理由により――原子がクォークより複雑なのと同じく、基礎的な量子力学より高い組織水準に属する考察により――、各配置の正確な振幅を直接教える単純な測定装置は存在しない。プログラムの状態を直接見ることはできない。

それなら、物理学者は振幅がいくらかをどうやって知るのか。

配置の振幅の絶対値の二乗を教えてくれる魔法の測定器なら、私たちは確かに持っている。元の複素振幅が（a + bi）なら、正の実数（a² + b²）を得られる。ピタゴラスの定理を考えてほしい。複素数を、二次元平面上で原点から伸びる小さな矢印として思い描けば、魔法の道具はその矢印の長さの二乗を教えるが、矢印が指す方向は教えない。

より正確に言うと、魔法の道具が実際に教えるのは、いくつかの配置にある振幅の長さの二乗の比だけである。矢印の絶対的な長さはわからず、互いに対してどれほど長いかしかわからない。しかし、物理法則――プログラムの規則――を復元するには、この情報で十分だとわかる。だから私は、絶対値の二乗の比だけでなく、振幅そのものについて語れるのである。

「検出器1が光子を受け取る」と「検出器2が光子を受け取る」の上で魔法の道具を振ると、これらの配置の絶対値の二乗が同じ――矢印の長さが同じ――だとわかる。魔法の道具はそう告げる。もっと複雑な実験（まもなく見る）を行えば、元の複素数の比がi対1だったと判断できる。

では、この魔法の測定器とは何なのか。

日常生活の視点――量子水準よりはるか、はるか、はるか上で、ずっと複雑な視点――から言えば、魔法の測定器とは、何個かの光子を一個ずつ半透鏡へ送り、数千回の試行を通じて、検出器1と検出器2に到着した光子の数を数えることである。これらの値の比が、振幅の絶対値の二乗の比になる。しかし、その理由はまだ考えない。走る前に歩くのだ。はるか上方の日常生活の水準で何が起きるのかは、もっと単純な場合に何が起きるかを理解する前には理解できない。

今日の目的に照らせば、私たちには魔法の絶対値二乗比読取器がある。そして魔法の道具は、「検出器1が光子を受け取る」という配置を表す二次元の小さな矢印が、「検出器2が光子を受け取る」の矢印と同じ長さの二乗を持つと教える。それだけである。

こう疑問に思うかもしれない。「魔法の道具がこのように働くとして、半透鏡がだいたい半分の回数で光子を反射すると考える代わりに、量子論を使う動機は何なのか？」

それは自ら混乱を招いているだけである――そのように歴史的に現実的な心構えを取り、日常の直観を使っている。小さなビリヤード球がどちらか一方へ進み、おそらく鏡で跳ね返るなどと、私が一言でも言っただろうか。現実はそのようには働かない。現実とは、配置の間を流れる複素振幅のことであり、その流れの法則は安定している。

それでも、ビリヤード球式の考えでは扱えないもっと複雑な状況を見たいと言い張るなら、ここにもう少し複雑な実験がある。

図2

図2では、BとCが全反射鏡で、AとDが半透鏡である。DからEへの線が破線になっている理由は後で明らかになるが、DからEへもまったく同じ法則に従って振幅が流れている。

では、先ほど学んだ規則を適用しよう。

時間の始まりには、「Aへ向かう光子」の振幅は（−1 + 0i）である。

続いて、「AからBへ進む光子」と「AからCへ進む光子」という配置の振幅を計算する。

同様に、

全反射鏡は（予想どおり）半透鏡の半分のように振る舞う――全反射鏡はものを直角に曲げ、iを掛けるだけである。（もう少し正確に述べると、全反射鏡では、入射する光子の配置から直角に出ていく光子の配置へ流れる振幅に、係数iが掛けられる。）

したがって、

「BからD」と「CからD」は二つの異なる配置である――単に「Dにある光子」とは書かない――なぜなら、この二つの異なる配置では、光子は二つの異なる角度で到着するからだ。そしてDが光子に何をするかは、光子が到着する角度に左右される。

もう一度言えば、（大まかに述べると）規則はこうである。半透鏡が光を直角に曲げるとき、入射光子の配置から出射光子の配置へ流れる振幅は、入射光子の配置の振幅にiを掛けたものになる。また、二つの配置が、半透鏡が光を直進させることで関係づけられているとき、入射光子の配置から流れる振幅には1が掛けられる。

したがって、

• 元の振幅が（1 + 0i）である「BからDへ進む光子」という配置からは、
  • （1 + 0i）× i =（0 + i）の振幅が、「DからEへ進む光子」へ流れる。
  • （1 + 0i）× 1 =（1 + 0i）の振幅が、「DからFへ進む光子」へ流れる。
• 元の振幅が（0 − i）である「CからDへ進む光子」という配置からは、
  • （0 − i）× i =（1 + 0i）の振幅が、「DからFへ進む光子」へ流れる。
  • （0 − i）× 1 =（0 − i）の振幅が、「DからEへ進む光子」へ流れる。

よって、

• 「DからEへ進む光子」という配置へ流れる合計振幅は、（0 + i）+（0 − i）=（0 + 0i）= 0である。
• 「DからFへ進む光子」という配置へ流れる合計振幅は、（1 + 0i）+（1 + 0i）=（2 + 0i）である。

（途中でわからなくなったなら、自分で紙とペンを使って計算してみるとよいかもしれない。）

しかし、通常の生活として私たちが考える、あの途方もなく高水準の「実験的」視点から見た帰結は、Eでは光子が一個も検出されないということである。すべての光子がFにたどり着くように見える。「DからE」と「DからF」の絶対値の二乗の比は0対4である。この図でDからEへの線が破線になっているのは、そのためだ。

これは、半透鏡が入射する小さなビリヤード球を半分の回数でそらすと考えても説明できない。振幅の流れで考えなければならない。

この配置で半透鏡が小さなビリヤード球を半分の回数でそらすなら、小さな球は約半分の回数で検出器1、残り半分で検出器2にたどり着くだろう。実際にはそうならない。だから、そのように考えてはいけない。

こう言うかもしれない。「だが待て！　この結果を説明する別の仮説を思いついた。半透鏡が光子を反射するとき、次には反射されないことを保証する何かを光子に行うとしたら？　また、光子を直進させたときには、次には反射されるように何かを行うとしたら？」

本当に、規則をそれほど複雑にする必要はない。オッカムの剃刀を思い出してほしい。配置の間を流れる、単純で正常な振幅に従えばよい。

しかし、あなたの新しい代替仮説を反証する別の実験が見たいなら、それが図3である。

図3

ここでは実験装置全体を同じままにして、BとDの間に小さな遮蔽物を置いただけである。これにより、「BからDへ進む光子」の振幅が0になることが保証される。

その配置からの振幅の寄与を除くと、「DからFへ進む光子」の合計は（1 + 0i）、「DからEへ進む光子」の合計は（0 − i）になる。

（1 + 0i）と（0 − i）の絶対値の二乗はどちらも1なので、魔法の測定器は絶対値の二乗の比が1だと教えるはずである。はるか上方の、物理学者が存在する水準では、検出器1が半分の回数で作動し、検出器2も半分の回数で作動するはずである。

CとDの間に遮蔽物を置いても同じことが起こる。振幅は異なるが、絶対値の二乗の比はやはり1なので、検出器1が半分の回数、検出器2が半分の回数で作動する。

これは、半透鏡で反射されるかされないかのどちらかである小さなビリヤード球では絶対に起こりえない。

複素数は、1と−1、あるいはiと−iのように反対の方向を持ちうるので、振幅の流れは互いに打ち消し合える。配置Xから配置Yへ流れる振幅は、配置Zから配置Yへ流れる、大きさが等しく向きが反対の振幅によって打ち消されうる。実際、この実験で起きるのはまさにそれである。

確率論では、何かが一つの仕方または別の仕方、Xまたは¬Xで起こりうるとき、P(Z) = P(Z|X)P(X) + P(Z|¬X)P(¬X)である。そして、確率はすべて正である。したがって、Xを条件としてZが起こる確率が1/2で、Xが起こる確率が1/3だと確定したなら、¬Xの場合に何が起ころうと、Zが起こる総確率は少なくとも1/6である。負の確率、不可能を下回る確信度、あるいは（0 + i）の信頼度など存在しないため、信念の度合いは振幅のようには互いを打ち消せない。

そもそも確率は心のなかにあるという点は言うまでもない。そして私たちは、領域について、すなわち現実そのものであるプログラムについて話しているのであって、人間の認知や部分的な知識状態について話しているのではない。

同じ理由により、配置は命題でも、言明でも、世界が想像上取りうる姿でもない。配置は意味論的な構成物ではない。ありそうなのような形容詞は配置に適用されない。配置は信念でも、文でも、可能世界でもない。真でも偽でもなく、単に実在する。

図2の実験で、次のように考えたくなってはいけない。「光子はBかCのどちらかへ進むが、反対側へ進むこともありえた。そしてこの可能性が、Eへ進む能力と干渉する……」

「起こりえたが起こらなかった」何かが世界に効果を及ぼす、と考えても意味がない。「なんてことだ、あの車にもう少しでひかれるところだった」と考えるように、起こりえたが起こらなかったことを想像することはでき、その想像が将来の行動に効果を及ぼすことはある。しかし、想像という出来事は実在する出来事であり、実際に起こる。そして効果を及ぼすのはその出来事である。行動に影響するのは、非現実の出来事についてのあなたの想像――まったく物理的な脳内に実装された、きわめて現実的な想像――なのだ。

車があなたをひくという実際の出来事――あなたに起こりえたが、実際には起こらなかったこの出来事――が、あなたの行動に直接因果的な効果を及ぼしていると考えるのは、地図と領域を混同することである。

世界に影響するものは実在する。（「実在」しなくても世界に影響できるのなら、「実在」という言葉が何を意味するのか理解しにくい。）配置と振幅の流れは原因であり、目に見える効果を持つ。したがって実在する。椅子が可能世界でなく、空が信念の度合いでないのと同じく、配置は可能世界ではなく、振幅は信念の度合いではない。

それなら、配置とは何なのか。

後のエッセイを読めば、もっと明確にわかるようになる。

ただし、実際の姿がこのエッセイで見た単純化版とどう違うかを手短に示すと……。

私たちの実験装置が扱ったのは、動く粒子一個、すなわち一個の光子だけだった。本当の配置は複数の粒子に関するものである。次のエッセイでは複数の粒子の場合を扱い、配置とは何かがずっと明確にわかるはずだ。

ここで論じた各配置は、跳ね回る一個の光子の位置だけでなく、鏡と検出器にある粒子すべての共同位置を記述するべきだった。

実際、真に実在する配置は、実験者を構成する粒子を含め、宇宙内のすべての粒子の共同位置にわたる。私が実験結果という概念を後のエッセイまで取っておく理由もわかるだろう。

現実世界では、振幅は、配置からなる連続的な空間上の連続分布である。このエッセイの「配置」は角張ったデジタルなもので、「振幅の流れ」も同様だった。まるで光子が一つの場所から別の場所へ瞬間移動するかのように語っていたのである。

このどれにも意味が通じなかったとしても、心配しなくてよい。後のエッセイで明らかになる。話がどこへ向かうのかを少し示しておきたかっただけである。