証拠がないことは、ないことの証拠である

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ロビン・ドーズの『Rational Choice in an Uncertain World』より。¹

実際、証拠を後から仮説に合わせるこうしたやり方は、アメリカ史の中でもとりわけ痛ましい一章に関わっていた。第二次世界大戦初期の日系アメリカ人の強制収容である。カリフォルニア州知事アール・ウォーレンが、1942年2月21日にサンフランシスコで開かれた議会の公聴会で証言した際、質問者の一人は、それまで日系アメリカ人による破壊工作も、その他いかなる種類のスパイ活動もなかったと指摘した。ウォーレンはこう答えた。「私は、こうした［破壊活動の］欠如こそ、この状況全体で最も不吉な兆候だと考えています。それはおそらくほかのどの要因にもまして、これから起きる破壊工作、第五列による活動は、真珠湾攻撃と同じように時機を合わせて行われるのだと私に確信させます……我々は単に、偽りの安心感に浸らされているのだと思います」。

ウォーレンの議論をベイズ的な観点から考えてみよう。証拠を見ると、その証拠により高い尤度を割り当てていた仮説は、その証拠により低い尤度を割り当てていた仮説を犠牲にして、確率を増す。これは相対的な尤度と相対的な確率の現象だ。ある証拠に高い尤度を割り当てていても、別の仮説がさらに高い尤度を割り当てていれば、その仮説に確率を奪われることはある。

ウォーレンは、破壊工作が見られない以上、それによって第五列の存在が裏づけられると論じているようだ。第五列が破壊工作を先延ばしするかもしれないと主張することはできる。だが、第五列が存在しない場合に破壊工作が起こらない尤度のほうが、それでも高い。

Eを破壊工作が観察されること、¬Eを破壊工作がないと観察されることとしよう。記号H₁は日系アメリカ人の第五列があるという仮説を、H₂は第五列が存在しないという仮説を表す。条件付き確率P(E|H)、すなわち「Hを条件としたE」とは、仮説Hが真だと仮定したときに、証拠Eが見られるとどれだけ確信するかを表す。

第五列が破壊工作を行わない尤度、つまり確率P(¬E|H₁)がいくらであっても、第五列が存在しないという条件で破壊工作がない尤度、つまり確率P(¬E|H₂)ほどには大きくならない。したがって、破壊工作がないと観察されれば、第五列が存在しない確率は高まる。

破壊工作がないことは、第五列が存在しないことの証明にはならない。証明がないことは、ないことの証明ではない。論理学では、「AならばB」と読む(A ⇒ B)は、「AでないならばBでない」と読む(¬A ⇒ ¬B)と同値ではない。

しかし確率論では、証拠がないことは、常に、ないことの証拠である。Eが二値の事象で、P(H|E) > P(H)、すなわちEを見るとHの確率が上がるなら、P(H|¬E) < P(H)、すなわちEが観察されないとHの確率は下がる。確率P(H)は、P(H|E)とP(H|¬E)の加重平均であり、必ずこの二つの間にある。このあたりが少しでもわかりにくければ、「ベイズの定理の直感的な説明」を参照してほしい。

現実のほとんどの状況では、ある原因がその兆候を確実に生むとは限らないが、原因がないのに兆候が生じる可能性はさらに低い。観察されないことが、不在の強い証拠になるか、ごく弱い証拠になるかは、その原因がどれほどの確率でその観察を生むかによる。起こることが低い確率でしか許されていない観察が得られなくても、それは不在のごく弱い証拠にしかならない（対立仮説がその観察をまったく許さない場合でもそうだし、弱いとはいえ証拠であることに変わりはない）。これが「化石記録の空白」を持ち出す誤謬だ。化石ができることはまれなので、強い肯定的な観察がすでに多数記録されているのに、低い確率でしか起こらない観察がないことを大々的に言い立てても無駄である。しかし、肯定的な観察がまったくないのなら、心配すべきときだ。それゆえ、フェルミのパラドックスがある。

合理主義者としてのあなたの強さは、現実よりも作り話に対して、より強く戸惑える能力だ。どんな結果でも同じくらいうまく説明できるなら、あなたの知識はゼロである。モデルの強さは、何を説明できるかではなく、何を説明できないかにある。何かを禁じて初めて、予想を制約することができるからだ。自分のモデルによればその証拠は起こりにくいはずなのに、そのことに気づかないのなら、モデルなど持っていないのと同じだし、証拠などないのと同じだ。脳も目もないのと同じなのだ。