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物理学者への書簡。
私がまだ幼い少年だった頃、物理学博士である父は、物理学者の仕事に手を出さないよう厳しく警告した。形式的な数学なしに物理学を理解しようとしても望みはない、と父は言った。それで終わり。例外条項はない。しかし私は、物理学を本当に理解しているなら、物理学者でない人にも説明できるはずだ、とファインマンの一般向け著作で読んでいた。父ではなくファインマンを信じた。ファインマンはノーベル賞を受賞していて、父は受賞していなかったからである。
のちに――実のところ、ファインマン物理学を読んでいたとき――ようやく、父が単純で率直な真実を教えていたと気づいた。数学なし＝物理学なし。
私は職業上、物理学者ではなくベイズ主義者である。それでも、物理学者の仕事に手を出さないよう育てられたにもかかわらず、三つの用語がときおり甚だしく誤用されるため、手を出さざるをえなくなった。その用語とは、単純、反証可能、検証可能である。
以上の前置きをしたのは、「もちろん、その言葉の意味くらい知っている！」と笑われないためである。ここには数学がある。以下では、含意された不可視のものへの信念の論点を、量子物理学に適用して言い直す。
この道全体へ私を進ませるきっかけとなり、いくつかの形で目にした発言から始めよう。言い換えれば、次のようなものだ。
量子力学の多世界解釈は、私たちの世界と並んで存在する、膨大な数のほかの世界を仮定する。オッカムの剃刀によれば、実体を不必要に増やすべきではない。
公平を期して言えば、こう言う人々は通常、次のことも認める。
しかし、これは広く受け入れられたオッカムの剃刀の適用法ではない。オッカムの剃刀は、モデル内の対象数ではなく、モデルを支配する法則に適用すべきだと言う人もいる。
だから、反対の論証を皆が認め、両方の側の話を伝えているのはよいことだ――。
しかし、理論の単純さを計算しなければならないとしたらどうだろうか。
ウィリアム・オッカムによる元の定式化は、次のように述べていた。
Lex parsimoniae: Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem.
「節約の法則：必要を超えて実体を増やしてはならない」
しかし、これは定性的な助言である。一つの理論が別の理論より単純に見えるか、複雑に見えるかを述べるだけでは足りない。数値を割り当てなければならず、その数値には意味がなければならない。でっち上げてはいけない。この隔たりを越えるのは、どのものが「速く」または「遅く」動いているかを目測できることと、速度を測って計算し始めることの違いに似ている。
「単語を数えればよい――それが理論の複雑さだ」と言ってみたとしよう。
ロバート・ハインラインはかつて（冗談半分だと思いたいが）、「最も単純な説明」は常に「通りの先に住む女は魔女で、あの女がやった」だと主張した。英語で十一語。これより短くできる物理学論文は多くない。
この難題に直面したとき、進める道は二つある。
第一に、こう尋ねられる。「通りの先に住む女は何だって？」英語に概念を示す単語が一つあるからといって、その概念自体が単純だとは限らない。魔女も、女も、通りも知らない異星人と話しているとしよう。自分の理論を説明するのにどれほど時間がかかるだろうか。さらによいのは、自分の仮説を具現化し、その仮説が予測だとするものを出力するコンピュータ・プログラムを書かなければならないと仮定することである。そのプログラムはどれほど大きくなければならないだろうか。坂を転がる岩について、測定された位置の時系列を予測するのが課題だとしよう。魔女をシミュレートするサブルーチンを書いても、岩がどこを転がるかを絞り込む助けにはならないように見える。余計なサブルーチンはコードを膨らませるだけである。ただし、数を二乗するサブルーチンがコードに必ず含まれるとわかるかもしれない。
第二に、こう尋ねられる。「通りの先に住む女は魔女で、何をしたって？」利用できる証拠の範囲で、ある出来事をできるだけ正確に記述したいとしよう。やはり、坂を転がる岩の距離／時間の時系列だとする。「通りの先に住む女は魔女だ」と説明の前に置けるが、友人は「その女が何をしたの？」と尋ねる。そこで「最初の一秒後に岩を一メートル、三秒後に九メートル転がした……」と答える。「通りの先に住む女は魔女だ」とメッセージの前に置いても、記述の残りを圧縮する助けにはならない。全体として、必要以上に長いメッセージを送るだけであり、「魔女」という接頭部分を省くほうが理にかなう。一方、少し時間を取ってガリレオについて語れば、その次に来る、坂を転がる岩についての五千個の詳細な時系列を大幅に圧縮できるかもしれない。
第一の道を進めば、コルモゴロフ複雑性とソロモノフ帰納として知られるものに行き着く。第二の道を進めば、最小メッセージ長として知られるものに行き着く。
なるほど、それなら単純さの定義を好きに選べるのか。
いや、実際には、最も高度に発展した形の二つの形式体系は同値だと証明されている。
そして今度は、どちらの形式体系も「オッカムが意味するのは法則を数えることで、対象を数えることではない」という側に立つ、と言うのだろう。
だいたいはそうである。最小メッセージ長では、転がる岩の時系列を得るために頭のなかで正確に従える手順を友人に伝えられる限り、その手順に従うのにどれほど心的作業が必要かは気にしない。ソロモノフ帰納では、プログラムの実行中に使われるRAMのビットではなく、プログラムコードのビットを数える。「実体」とはコードの行であり、シミュレートされる対象ではない。そして先に述べたように、この二つの形式体系は究極的には同値である。
形式的な単純さをさらに詳しく述べる前に、ここで余談として次の異論を考えよう。
だから何だ？ 物事を違う仕方で扱う自分独自の形式体系を発明してはいけないのか。あなたの分野で、あなたがたまたま決めたやり方に、なぜ注意を払うべきなのか。そのやり方を採用すべきだと示す実験的証拠はあるのか。
信じられないかもしれないが、実はある。しかし、最初から始めよう。
確率論の連言則は、次のように述べる。
P(X,Y) ≤ P(X) .
任意の命題XとYについて、「Xが真で、Yも真である」確率は、「（Yが真かどうかにかかわらず）Xが真である」確率以下である。（この文がそれほど深遠に聞こえないなら、人間による確率評価がこの規則に違反する事例は簡単に見つかる、と請け合おう。）
互いに排他的な仮説の衝突には、通常、連言則P(X,Y) ≤ P(X)を直接適用できない。連言則を直接適用できるのは、左辺が右辺を厳密に含意する場合だけである。さらに、連言は単なる不等式であり、求めている種類の定量的計算を与えない。
しかし連言則は、確率が単調減少するという規則を与える。物語に詳細を追加し、それぞれの追加の詳細が真にも偽にもなりうるなら、物語の確率は単調に下がる。確率を保存量だと考えてほしい。分配できる量には限りがある。物語の詳細が増えるにつれ、可能な物語の数は指数関数的に増えるが、その確率の総和は決して1を超えられない。「XかつY」という物語一つひとつに、「Xかつ¬Y」という物語がある。単に「X」という物語を語れば、可能性Yと¬Yを足し合わせられる。
Xに、それぞれ真にも偽にもなりうる詳細を十個加えるなら、その物語は、貴重な確率をめぐって、同じだけ詳細なほかの210 − 1個の物語と競わなければならない。一方、単にXと言うだけで足りるなら、210個の物語にわたって確率を足し合わせられる。
((X and Y and Z and ...) or (X and ¬Y and Z and ...) or ...) .
オッカムの剃刀が数える「実体」は、一つひとつが確率の費用を伴うべきである。その数が少ない理論を好むのは、このためだ。
最大百万枚のくじを売り、それぞれの番号のくじは一度だけ売られ、抽選時にはすべてのくじが売れている宝くじを想像してほしい。あなたの友人が一枚を1ドルで買った。賞金は50万ドルにすぎないので、あなたには悪い投資に思える。それでも友人はこう言う。「ああ、でも代替仮説を考えてみろ。『明日、誰かが宝くじに当たる』と『明日、私が宝くじに当たる』だ。後の仮説のほうが、オッカムの剃刀により明らかに単純だ。一人と一枚のくじにしか言及しないが、前の仮説はもっと複雑で、百万人と百万枚のくじに言及する！」
オッカムの剃刀が数えるのは法則だけで、対象ではない、と言うのは完全には正しくない。理論に不利に働くのは、明示的に言及しなければならない実体である。それらは足し合わせることのできない実体だからだ。あなたと友人が、驚くべきビリヤードの一打を解明しようとしているとする。ビリヤード台の開始状態と、どの球がポケットに入ったかは教えられるが、どのように打たれたかは知らされない。あなたは、特定の十個の球の間で起きる、特定の十回の衝突を含む理論を提案する。友人は、特定の五個の球の間で起きる、特定の五回の衝突を含む理論で対抗する。理論に不利に働くのは、ビリヤード球を支配すると主張する法則だけではなく、モデルの予測が成功するために、ある特定の状態になければならなかった特定のビリヤード球も含まれる。
居間の温度を摂氏22度と測ったなら、次のように言っても意味はない。「温度計はおそらく間違っている。部屋は摂氏20度である可能性のほうがずっと高い。部屋の全粒子を考えると、本当の温度が摂氏22度の場合に取りうる状態は指数関数的にはるかに多く、そのためどの特定の状態もますますありそうにないからだ」。しかし部屋がどの正確な摂氏22度状態を占めていても、（そのような状態の圧倒的多数について）温度計は摂氏22度を示すことになるという同じ予測ができるため、正確な初期条件には敏感でない。部屋の全空気分子の正確な位置を指定する必要はなく、それが説明の確率に不利に数えられることもない。
一方――宝くじの場合へ戻り――、友人が十回連続で宝くじに当たったとしよう。この時点で、不正が仕組まれていると疑うべきである。「私の友人が毎回宝くじに当たる」という仮説は、「誰かが毎回宝くじに当たる」という仮説より複雑である。しかし前者は、データをはるかに精密に予測している。
最小メッセージ長の形式体系では、「毎回宝くじに当たる一人の人物がいる」とメッセージの最初に言うことで、次の十回の宝くじに誰が当たったかの記述を圧縮できる。「そして、その人物はフレッド・スミスである」と言うだけでメッセージを終えられる。「最初の宝くじにはフレッド・スミスが当たり、二回目の宝くじにはフレッド・スミスが当たり、三回目の宝くじには……」と比べてほしい。
ソロモノフ帰納の形式体系では、「私の友人が毎回宝くじに当たる」の事前確率は低い。宝くじを記述するプログラムに、友人を選び出す明示的なコードが必要になるからだ。しかし、そのプログラムは「誰かが毎回宝くじに当たる」より、潜在的な当選者について狭い確率分布を生成できるので、ベイズの定理により、事前のありそうになさを克服して仮説として勝ち残れる。
オッカムの剃刀の形式理論は、「実体」と「単純さ」だけでなく、「必要」の部分も定量的に定義すべきである。
最小メッセージ長は、必要性を「メッセージを圧縮するもの」と定義する。
ソロモノフ帰納は、可能な各コンピュータ・プログラムへ事前確率を割り当て、可能なすべてのコンピュータ・プログラムにわたる分布全体の和が1以下になるようにする。これは、有効なコンピュータ・プログラムが別のどの有効なコンピュータ・プログラムの接頭辞にもならない二進符号（「接頭辞自由符号」）を、たとえば停止符号を含めることで使えば実現できる。すると任意のプログラムPの事前確率は単に2−L(P)となる。ここでL(P)は、Pのビット単位の長さである。
プログラムP自体は、（長さゼロでもよい）ビット列を入力として、次のビットが1になる条件付き確率を出力するプログラムにできる。これにより、Pはすべての二進列にわたる確率分布になる。この版のソロモノフ帰納は、任意の列について、その列を最も精密に予測する最短のプログラムが支配する事後確率の混合を与える。この混合を足し合わせることで、次のビットを予測できる。
帰結は、より複雑な仮説を正当化するには、より多くのベイズ的証拠――より多くの成功した予測、またはより精密な予測――が必要になることである。しかし正当化は可能であり、事前のありそうになさという負担は無限ではない。コインを四回投げて毎回表が出ても、そのコインは表しか出さないとはすぐに結論しない。しかし二十回連続で表が出たなら、非常に真剣に検討すべきである。コインがhtthtt……という反復周期を出すよう仕組まれているという仮説はどうだろうか。それはもっと異様だが、百回コインを投げたあとで否定するなら愚かである。
標準的な化学は、水素ガス一グラムに6×10の23乗個の水素原子があると述べる。これは驚くべき主張だが、物理学者一般、そして特にあなたを、この主張が真だと納得させるのに十分な量の証拠があった。
今度は、個別に指定された6×10の23乗個の物理法則を持つ理論をあなたに納得させるには、どれほどの証拠が必要かを自問してほしい。
ソロモノフの形式体系で、プログラムの事前確率に、そのプログラムが使うRAMの量や総実行時間の尺度が含まれないのはなぜか。
単純な答えは、「プログラムが使う空間と時間という資源は、互いに排他的な可能性ではないから」である。特定の場所に1か0の一方しか持てないプログラム仕様とは違う。
しかし、さらに単純な答えは、「歴史的に言えば、そのヒューリスティックは機能しないから」である。
星雲が実は遠方の銀河だという説に対する異論として、オッカムの剃刀が持ち出された。それは宇宙内の実体数を途方もなく増やすように見えた。あれほど多くの恒星が！
人類史では繰り返し、宇宙は大きくなってきた。そのたびに、より広大な宇宙をよりありそうにないと分類する変種のオッカムの剃刀は、人類の歴史的経験に照らして成績が劣るだろう。
これは、先ほど触れた「実験的証拠」の一部である。数学的な種類の根拠で単純さの理論を正当化できるとしても、実際に実用上うまく機能することが望ましい。（「実験的証拠」のもう一つの部分は、統計学者／コンピュータ科学者／人工知能研究者が、「単純さ」のどの定義を使えば、過去のデータから将来のデータを経験的にうまく予測するコンピュータ・プログラムを構築できるか検証していることから来る。おそらく、最小メッセージ長のパラダイムがここで最も生産的だと証明されてきた。現実世界の問題を考えるうえで非常に適応性の高い方法だからである。）
華々しい式典とともに打ち上げを目撃した宇宙船を想像してほしい。宇宙船はあなたから遠ざかる向きに加速し、まもなく0.9cで進んでいる。現在の宇宙論がそうなるはずだと考えるように宇宙の膨張が続けば、将来のどこかで――あなたの現実モデルによれば――原理的にも宇宙船と相互作用できないと予想する時点が来る。それはあなたに対する宇宙論的地平線を越え、そこから出た光子は宇宙の膨張を追い越せなくなる。
宇宙船があなたに対する宇宙論的地平線を越えた時点で、文字どおり、物理的に宇宙から消えると信じるべきだろうか。
オッカムの剃刀がモデル内の対象を数えると信じるなら、そう信じるべきである。宇宙船があなたの宇宙論的地平線を越えると、宇宙船が即座に消えるモデルと、宇宙船がその先へ進み続けるモデルは、区別不能な予測を与える。どちらも、もう一方に対するベイズ的な証拠上の優位を持たない。しかし一方のモデルは「実体」がはるかに少なく、宇宙船を構成するクォーク、電子、場のすべてを語る必要がない。したがって、宇宙船が消えると仮定するほうが単純である。
別の言い方もできる。「数多くの実験を通じ、私は観察された粒子を支配する特定の法則を一般化した。宇宙船はそのような粒子からできている。これらの法則を適用すれば、宇宙船は宇宙論的地平線を越えたあとも、以前と同じ運動量と同じエネルギーを持って進み続けるはずだと演繹できる。そうでなければ、調べられるあらゆる事例で成り立つのを見た保存則を破る。宇宙船が消えると仮定するには、『ものは私の宇宙論的地平線を越えた途端に消える』という新しい法則を加えなければならない」
量子力学のデコヒーレンス版（別名、多世界版）は、測定がほかのすべての物理過程と同じ量子力学的規則に従うと述べる。これらの規則を、微視的対象とまったく同じ仕方で巨視的対象に適用すると、重ね合わせ状態にある観察者に行き着く。ここでは、たとえば次のように多くの問いを尋ねられる。
「しかしそれなら、二値の量子測定はすべて、なぜ50対50の確率に見えないのか。私たちの異なる版が両方の結果を見るのだから」
しかし、デコヒーレンスはモデル内の対象を増やすためオッカムの剃刀に違反する、という異論は単純に間違っている。
デコヒーレンスは、波動関数が複雑で正確な特定の初期状態を取ることを要求しない。多世界は、すべての世界を手作業で指定しているのではなく、量子力学の簡潔な法則によって生成している。実験予測を行うため量子力学を直接シミュレートするコンピュータ・プログラムは、実行に大量のRAMを必要とするだろう。しかし、波動関数のシミュレーションは量子力学のどの流派でも指数関数的に高くつく！ デコヒーレンスは単に、より多く必要とする。恒星から銀河、原子から量子力学に至るまで、人類史上の多くの物理学的発見が、宇宙に必要だと考える見かけ上のCPU負荷を大幅に増やしてきた。
多世界は、原子仮説が無数の原子のぶんだけ複雑なのではないのと同じく、無数の世界のぶんだけ複雑なのではない。オッカムの剃刀を定量的に理解する者にとって、それは単純に「複雑」という語の意味ではない。
銀河の歴史的な事例と同じく、人々はそれほど大きな宇宙という考えへの衝撃を確率上のペナルティと取り違え、正当化のためにオッカムの剃刀を持ち出したのかもしれない。しかしデコヒーレンスに確率上のペナルティがあるとしても、含意される宇宙の大きさそれ自体は、断じてその源ではない！
デコヒーレントな世界は、オッカムの剃刀によってペナルティを科される追加の実体である、という考えは、まったくの間違いである。おおよそ正しいのでもない。弱いがなお妥当な論証なのでもない。さらなる論証で補強できる擁護可能な立場でもない。確率論として完全に欠陥がある。修復不能である。悪い数学である。2 + 2 = 3。