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1、2、3はすべて整数で、マイナス4もそうだ。上へ数え続けても、下へ数え続けても、さらにたくさんの整数に出会う。だが、「正の無限大」や「負の無限大」というものには出会わない。したがって、これらは整数ではない。
正と負の無限大は整数ではなく、整数の振る舞いについて語るための特別な記号だ。「5＋無限大＝無限大」のように言うことがある。5から始めて、決して止まらず上へ数え続ければ、数は際限なく大きくなるからだ。しかし、それから「無限大−無限大＝5」が導かれるわけではない。0から決して止まらず上へ数え、そのあと決して止まらず下へ数えて、終わったときに5になることはできない。
つまり無限大は、整数ではないだけでなく、整数のように振る舞いさえしない。不用意に無限大と整数を混ぜようとすると、1、2、3などの本当の整数には必要ない、矛盾して見えるさまざまな特別の振る舞いを、新たに用意しなければならなくなる。
無限大が整数でなくても、数が足りなくなる心配はない。人は5頭の羊や、何百万粒の砂や、10の24乗個もの原子を見てきたが、何かを無限個数えた人はいない。連続量も同じだ。幅が1ミリメートルの塵、1メートルの動物、何キロメートルにも及ぶ都市、何千光年にも及ぶ銀河を測ってきたが、幅が無限のものを測った人はいない。現実世界では、無限大をそれほど多く必要としない。
（詳しい読者には断っておくが、たとえば順序数と基数の違いについて、手の込んだ説明を送ってくる必要はない。高度な集合論における無限の定義を、私もいくつか知っている。ただ、確率論でのよい使い道が思い当たらないのだ。後述する。）
通常の確率の表し方では、確率は0と1の間にある。コインが裏を出す確率は0.5かもしれないし、天気予報士は明日の雨に0.9の確率を割り当てるかもしれない。
ただし、確率の表し方はこれだけではない。たとえば、O = (P/(1−P))という変換で、確率をオッズにできる。50%の確率は、0.5/0.5、つまり1のオッズになり、普通は1対1と書く。0.9の確率は、0.9/0.1、つまり9のオッズになり、普通は9対1と書く。オッズを確率に戻すには、P = (O/(1 + O))を使う。これは完全に逆変換できるので、この変換は同型、すなわち双方向に逆変換できる対応である。つまり、確率とオッズは同型であり、都合に応じてどちらを使ってもよい。
たとえば、ベイズ更新にはオッズのほうが便利だ。6面のサイコロを振るとしよう。1以外が出た場合には10%の確率でベルが聞こえ、1が出た場合には20%の確率でベルが聞こえる。さて、振るとベルが聞こえた。1の目が出ているオッズはいくらだろう。事前オッズは1対5、実数では1/5＝0.20である。尤度比は0.2対0.1、実数では2である。この二つを掛けるだけで、事後オッズの2対5、実数では2/5、つまり0.40が得られる。必要なら確率に戻すと、(0.4/1.4) = 2/7 = ∼29%となる。
だからベイズ更新では、オッズのほうが扱いやすい。確率を使うと、複雑な形のベイズの定理を持ち出さなければならない。しかし、「6面のサイコロを振って、1から4の目が出る確率は？」という問いに答えるなら、確率のほうが便利だ。各面の確率1/6を足せば4/6になるが、各面のオッズ0.2を足して、オッズ0.8にすることはできない。
なぜこんなことを長々と述べるのか。「オッズ」も「確率」とまったく同じくらい、不確かさを実数に対応させる正当な方法だと示すためだ。ある操作にはオッズが便利で、別の操作には確率が便利だ。コックスの定理という有名な証明と、そのさまざまな拡張・改良によれば、もっともらしいいくつかの制約に従う不確かさの表現方法は、すべて互いに同型になる。
オッズが確率と同じくらい正当だということが、なぜ重要なのか。通常の表記での確率は0と1の間にあり、0も1も簡単に手が届く量に見える。シマウマが1頭、ユニコーンが0頭というのは、簡単に見られるからだ。だが、確率をオッズに変換すると、0は0になるが、1は正の無限大になる。すると絶対的な真実は、それほど簡単に到達できるものには見えなくなる。
ベイズ更新をさらに簡単にする表現が、対数オッズだ。E・T・ジェインズが推奨した、確率の考え方である。たとえば、ある命題の事前確率が0.0001だったとしよう。これは、約−40デシベルの対数オッズに相当する。次に、その命題が偽である場合より真である場合に100倍ありそうな証拠を得る。これは20デシベルの証拠だ。したがって、事後オッズは約−40dB＋20dB＝−20dBとなり、事後確率は約0.01になる。
確率を対数オッズに変換すると、0は負の無限大に、1は正の無限大に対応する。すると、無限の確信も、無限のありそうになさも、少し手の届かないものに見えてくる。
確率では、0.9999と0.99999は、たった0.00009しか離れていないように見える。そのため、0.502と0.503の隔たりのほうが、0.9999と0.99999の隔たりよりはるかに大きい。確率0.99999から確率1に達するには、わずか0.00001の距離を進めばよいように思える。
しかしオッズに変換すると、0.502と0.503は1.008と1.012になり、0.9999と0.99999は9,999と99,999になる。そして対数オッズに変換すると、0.502と0.503は0.03デシベルと0.05デシベルになるが、0.9999と0.99999は40デシベルと50デシベルになる。
対数オッズを使うと、任意の二つの不確かさの度合いの間の距離は、一方から他方へ移るのに必要な証拠の量に等しくなる。つまり対数オッズは、確信の度合いの間隔を測る、自然な尺度を与えてくれる。
対数オッズを使えば、無限の確信に到達するには、無限に強い証拠が必要だとわかる。無限にありえないとするには、無限に強い反証が必要なのと同じだ。
さらに、確率論のさまざまな標準的定理には、1や0を代入すると特別な場合が生じる。確率0を割り当てていた観測をもとに、ベイズ更新をしようとしたときに起きることが、その例だ。
そこで私は、1と0は確率に含まれない、と言うのが理にかなっていると提案する。体の公理に従わない負と正の無限大が、実数に含まれないのと同じように。
これに確率論の研究者が困る最大の理由は、同時確率の各部分をすべて足して1になるとして周辺化できる、という仮定から得られていた定理を、導き直さなければならなくなることだ。
しかし現実には、サイコロを振って1から6のどれかが出ることは、文字どおり無限に確実なわけではない。サイコロは縁を下にして立ったまま止まるかもしれない。隕石にぶつかるかもしれない。マトリックスの闇の支配者たちが手を伸ばし、一面に「37」と書き込むかもしれない。
「自分が考慮していないあらゆる可能性」を表す魔法の記号を作れば、その記号も含めた事象について周辺化し、無限の確実さを表す魔法の記号「T 」に到達できるだろう。
だが私は、特別な振る舞いをする魔法の記号を使わずに、定理を導く方法はないかと問いたい。そのほうが優美だろう。排中律や無限集合を信じるのを拒む数学者がいるように、私も、絶対的確実性を信じない確率論者でありたい。